4.30.Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30....

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta sử dụng phương pháp so sánh các tam giác.
Ta có:
- OA = OC (giả thiết)
- OB = OD (giả thiết)
- $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

Từ đó, ta có $\Delta OAB \cong \Delta OCD$ (c . g . c).
Do đó, ta có AB = DC và $\widehat{BAO}=\widehat{OCD}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{ACD$} (1).

Tương tự, ta có:
- OA = OC (giả thiết)
- OD = OB (giả thiết)
- $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)

Từ đó, ta có $\Delta OAD \cong \Delta OCB$ (c . g . c).
Do đó, ta có AD = BC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{CAD}=\widehat{ACB$} (2).

Từ (1) và (2), suy ra AB // DC và AD // BC.
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
- AB = DC (chứng minh trên)
- AD cạnh chung
- BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ta có $\Delta ABD \cong \Delta DCA$ (c . c . c).
Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$
Và $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180^{\circ}$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía).
Do đó, $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}=90^{\circ}$
Vậy tứ giác ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.