1.6. Cho hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:a, Giả sử (Xo;Yo;Zo) Và (X1;Y1;Z1) là hai nghiệm...

Để giải câu hỏi trên, ta sẽ làm như sau:

Phương pháp giải:
a) Vì (Xo, Yo, Zo) và (X1, Y1, Z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình, nên ta có:
Axo + Byo + Czo = Dxo + Eyo + Fzo
Ax1 + By1 + Cz1 = Dx1 + Ey1 + Fz1

Trừ hai phương trình trên ta được:
A(X1 - Xo) + B(Y1 - Yo) + C(Z1 - Zo) = 0
Vậy (X1 - Xo, Y1 - Yo, Z1 - Zo) cũng là một nghiệm của hệ.

b) Giả sử hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt (Xo, Yo, Zo) và (X1, Y1, Z1). Ta chứng minh rằng hệ này sẽ có vô số nghiệm.
Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (Xo, Yo, Zo), (X1, Y1, Z1),....(Xn, Yn, Zn).

Chọn ra hai nghiệm (Xi, Yi, Zi), và (Xj, Yj, Zj) thỏa mãn Xj và Yj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = (Xo, X1,...Xn).
Áp dụng phần a vào ta được (Xi, Yi, Zi) cũng là một nghiệm của hệ phương trình.

Từ đó, ta có (Xi + Xj)/2 khác Xi, Xj và < Max(Xi, Xj) nên không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt => Điều này vô lí.

Vậy hệ này có vô số nghiệm.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.