1.3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss như sau:
1. Xây dựng ma trận tương ứng với hệ phương trình.
2. Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa ma trận về dạng tam giác trên.
3. Giải hệ phương trình sau khi ma trận đã được biến đổi.

Với hệ phương trình 1.3 đã cho, ta có:
\(\begin{cases}x + 2y - z = 1\\2x - y + 3z = 2\\3x + y + 6z = 3\end{cases}\)

Ta có thể giải bằng phương pháp Gauss như sau:
- Bước 1: Áp dụng phép cộng dấu để đưa ma trận về dạng tam giác trên:

\(\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & | & 1\\2 & -1 & 3 & | & 2\\3 & 1 & 6 & | & 3\end{bmatrix}\)
\(\xrightarrow{R2 = R2 - 2R1}\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & | & 1\\0 & -5 & 5 & | & 0\\3 & 1 & 6 & | & 3\end{bmatrix}\)
\(\xrightarrow{R3 = R3 - 3R1}\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & | & 1\\0 & -5 & 5 & | & 0\\0 & -5 & 9 & | & 0\end{bmatrix}\)

- Bước 2: Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa ma trận về dạng tam giác trên:

\(\xrightarrow{R2 = R2 - R3}\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & | & 1\\0 & -5 & 5 & | & 0\\0 & 0 & 4 & | & 0\end{bmatrix}\)

- Bước 3: Giải hệ phương trình sau khi ma trận đã được biến đổi:
Từ ma trận ta có:
\(4z = 0\)
\(z = 0\)

Đưa \(z = 0\) vào phương trình đầu tiên ta được:
\(x + 2y = 1\)
\(x = 1 - 2y\)

Từ đó, hệ phương trình có nghiệm là \(S = \left\{x = 1 - 2y, y, z = 0\right\}\).