Bài tập 9.Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:a) $n^{5}$– n chia hết cho 5 ∀n...

Phương pháp giải:

a) Ta cần chứng minh rằng $n^{5}$ - n chia hết cho 5 với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên.

Đầu tiên, ta chứng minh mệnh đề đúng với n = 1:
$1^{5}$ - 1 = 0 chia hết cho 5.

Giả sử mệnh đề đúng với một số nguyên dương k bất kỳ, tức là $k^{5}$ - k chia hết cho 5.
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là $(k + 1)^{5}$ - (k + 1) chia hết cho 5.

$(k + 1)^{5}$ - (k + 1) = $k^{5}$ + 5$k^{4}$ + 10$k^{3}$ + 10$k^{2}$ + 5k + 1 - k - 1
= $k^{5}$ + 5$k^{4}$ + 10$k^{3}$ + 10$k^{2}$ + 5k - k
= $k^{5}$ - k + 5$k^{4}$ + 10$k^{3}$ + 10$k^{2}$ + 5k

Vì $k^{5}$ - k chia hết cho 5 (theo giả thiết), và 5$k^{4}$ + 10$k^{3}$ + 10$k^{2}$ + 5k chia hết cho 5. Nên $(k + 1)^{5}$ - (k + 1) cũng chia hết cho 5.

Do đó, theo nguyên lí quy nạp, mệnh đề đã cho đúng với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên.

b) Tương tự như phần a, ta cần chứng minh rằng n$^{7}$ - n chia hết cho 7 với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên.

Ta chứng minh n = 1: $1^{7}$ - 1 = 0 chia hết cho 7.

Giả sử mệnh đề đúng với một số nguyên dương k bất kỳ, tức là $k^{7}$ - k chia hết cho 7.
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là $(k + 1)^{7}$ - (k + 1) chia hết cho 7.

$(k + 1)^{7}$ - (k + 1) = $k^{7}$ + 7$k^{6}$ + 21$k^{5}$ + 35$k^{3}$ + 21$k^{2}$ + 7k + 1 - k - 1
= $k^{7}$ + 7$k^{6}$ + 21$k^{5}$ + 35$k^{3}$ + 21$k^{2}$ + 7k - k
= $k^{7}$ - k + 7$k^{6}$ + 21$k^{5}$ + 35$k^{3}$ + 21$k^{2}$ + 7k

Vì $k^{7}$ - k chia hết cho 7 (theo giả thiết), và 7$k^{6}$ + 21$k^{5}$ + 35$k^{3}$ + 21$k^{2}$ + 7k chia hết cho 7. Nên $(k + 1)^{7}$ - (k + 1) cũng chia hết cho 7.

Do đó, theo nguyên lí quy nạp, mệnh đề đã cho đúng với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên.