Bài tập 8. Tìm giá trị của $m$ để :a. $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$b....

Để giải bài tập trên, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a. Để $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần xác định điều kiện để đẳng thức trên luôn đúng. Ta sử dụng định lí về dấu của hàm bậc hai để giải:
- Hàm số $2x^{2} + 3x + m + 1$ có $\Delta = 3^{2} - 4*2*(m+1) = 1 - 8m$. Vì $a = 2 > 0$ nên ta cần $\Delta < 0$, suy ra $1 - 8m < 0$, hay $m > \frac{1}{8}$.

b. Để $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cũng cần xác định điều kiện để bất đẳng thức luôn đúng. Sử dụng định lí về dấu của hàm bậc hai:
- Hàm số $mx^{2} + 5x - 3$ có $\Delta = 5^{2} - 4*m*(-3) = 25 + 12m$. Để điều kiện bất đẳng thức đúng, ta cần $\Delta < 0$ và $m < 0$. Từ đó suy ra, $m < \frac{-25}{12}$.

Vậy, đáp án cho câu hỏi:
a. Giá trị của $m$ để $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ là $m > \frac{1}{8}$.
b. Giá trị của $m$ để $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ là $m < \frac{-25}{12}$.