Bài 4:Một tam giác có độ dài các đường cao là các số nguyên và bán kính đường tròn ngoại tiếp...
Câu hỏi:
Bài 4: Một tam giác có độ dài các đường cao là các số nguyên và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Chứng minh tam giác đó đều.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Hạnh
Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về tam giác và hình học, cụ thể là về các đường cao, bán kính đường tròn nội tiếp và biểu thức liên quan đến các độ dài này.Phương pháp giải:1. Đặt a = BC, b = AC, c = AB.2. Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c của tam giác.3. Vì bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 => x, y, z > 2.4. Giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 2.5. Theo kết quả của bài toán trước đó: 1/x + 1/y + 1/z = 1 ≤ 3/z => z ≤ 3 => z = 3.6. Từ: 1/x + 1/y + 1/z = 1 => 1/x + 1/y = 2/3 => 3(x + y) = 2xy.7. => (2x - 3)(2y - 3) = 9 = 3*3 = 9*1.8. => Hoặc x = 3, y = 3 hoặc x = 6, y = 2.9. Vì y ≥ z (z = 3) => x = 6, y = 2 (loại).10. => x = y = z = 3 <=> a = b = c.11. Vậy tam giác đó là tam giác đều (đpcm).Câu trả lời: Tam giác đó là tam giác đều.
Câu hỏi liên quan:
Kết luận, tam giác có độ dài các đường cao là các số nguyên và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 là tam giác đều.
Với bán kính bằng 1, ta có ab=4, ac=4, bc=4. Từ đó suy ra a=b=c=h=4 và tam giác là tam giác đều.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta có R=abc/4S=ah.bc/4S=bc/4 và tương tự R=ac/4, R=ab/4.
Từ các phương trình trên suy ra a=b=c=h. Vậy tam giác đó đều do độ dài các đường cao bằng nhau.
Gọi h, a, b, c lần lượt là độ dài các đường cao của tam giác. Ta có các phương trình: ah=2S=ch, bh=2S=ah, ch=2S=bh