Bài 3: Cho $\triangle ABC$có 3 góc nhọn, các đường cao AA‟ , BB‟ , CC‟ và trực tâm...

Để giải bài toán này, ta sử dụng một số công thức trong hình học tỷ lệ diện tích tam giác.

Gọi S là diện tích tam giác ABC. Khi đó, diện tích tam giác AHB' bằng 1/2 diện tích tam giác ABC. Tương tự, diện tích tam giác AHC' cũng bằng 1/2 diện tích tam giác ABC. Ta có:
$\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HA{}'.BC}{\frac{1}{2}AA{}'.BC}=\frac{HA{}'}{AA{}'}$ (1)

$\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HC{}'.AB}{\frac{1}{2}CC{}'.AB}=\frac{HC{}'}{CC{}'}$ (2)

$\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HB{}'.AC}{\frac{1}{2}BB{}'.AC}=\frac{HB{}'}{BB{}'}$ (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta được:
$\frac{HA{}'}{AA{}'}+\frac{HB{}'}{BB{}'}+\frac{HC{}'}{CC{}'}=\frac{S_{HBC}+S_{HAB}+S_{HAC}}{S_{ABC}}$

Vì $S_{HBC} + S_{HAB} + S_{HAC} = S_{ABC}$, nên ta có:
$\frac{HA{}'}{AA{}'}+\frac{HB{}'}{BB{}'}+\frac{HC{}'}{CC{}'}=1$

Vậy, tổng $\frac{HA{}'}{AA{}'}+\frac{HB{}'}{BB{}'}+\frac{HC{}'}{CC{}'}$ bằng 1.