Bài 1: Cho $\triangle ABC$ có diện tích bằng đơn vị, trên cạnh AB lấy M và trên AC lấy N sao cho AM...

Để giải bài toán, ta sử dụng hai tỷ lệ diện tích giữa các tam giác để tìm ra diện tích của tam giác AOB.

Đặt $S_{AOB} = x$ và $S_{AOC} = y$ (với $x, y > 0$)
Với $AM = 3BM$, ta có $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{4}$, từ đó suy ra $\frac{S_{OAM}}{S_{OAB}} = \frac{3}{4}$, nên $S_{OAM} = \frac{3x}{4}$.
Tương tự, với $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{5}$, ta có $\frac{S_{OAN}}{S_{OAC}} = \frac{4}{5}$, nên $S_{OAN} = \frac{4y}{5}$.
Suy ra, $S_{BAN} = S_{BAO} + S_{OAN} = x + \frac{4y}{5}$.
Và $S_{CAM} = S_{COA} + S_{OAM} = y + \frac{3x}{4}$.

Ta có:
$S_{BAN} = \frac{4}{5}S_{ABC} = \frac{4}{5}$
$S_{CAM} = \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4}$

Từ đó, ta có hệ phương trình:
$5x + 4y = 4$ (*)
$3x + 4y = 3$ (**)

Giải hệ phương trình ta được $x = \frac{1}{2}$ và $y = \frac{3}{8}$.
Vậy diện tích của tam giác AOB là $\frac{1}{2}$.