7.33.Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng:a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của...
Câu hỏi:
7.33. Cho đa thức P(x). Chứng minh rằng:
a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x);
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Việt
a) Phương pháp giải:
- Giả sử P(x) chia hết cho x - a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có: P(x) = (x-a)Q(x).
- Từ đẳng thức trên, ta có P(a) = 0. Vậy a là một nghiệm của P(x).
b) Phương pháp giải:
- Cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x - a, ta được thương là Q(x) và dư R(x), nghĩa là ta có: P(x) = (x - a)Q(x) + R(x).
- Trường hợp R(x) khác 0 không thể xảy ra vì khi đó đẳng thức trên sẽ không có giá trị đúng, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.
- Do đó, chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x - a.
Đáp án:
a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x).
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a.
- Giả sử P(x) chia hết cho x - a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có: P(x) = (x-a)Q(x).
- Từ đẳng thức trên, ta có P(a) = 0. Vậy a là một nghiệm của P(x).
b) Phương pháp giải:
- Cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x - a, ta được thương là Q(x) và dư R(x), nghĩa là ta có: P(x) = (x - a)Q(x) + R(x).
- Trường hợp R(x) khác 0 không thể xảy ra vì khi đó đẳng thức trên sẽ không có giá trị đúng, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.
- Do đó, chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x - a.
Đáp án:
a) Nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x).
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬP7.25. Tìm số tự nhiên n sao cho đa thức $1.2x^{5}-3x^{4}+3.7x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$.
- 7.26.Thực hiện các phép chia sau:a) $(-4x^{5}+2x^{3}-2x^{2}):(-2x^{2})$;b) $(...
- 7.27.Đặt tính và làm phép chia sau:a) $(x^{3}-4x^{2}-x+12):(x-3)$;b)...
- 7.28. Khi làm phép chia $(6x^{3}-7x^{2}-x+2):(2x+1)$, bạn Quỳnh cho kết quả đa thức dư là 4x + 2.a)...
- 7.29. Cho hai đa thức $A = 3x^{4}+x^{3}+6x-5$ và $B=x^{2}+1$. Tìm thương Q và dư R trong phép chia...
- 7.30.Thực hiện các phép chia sau:a) $(2x^{4}+x^{3}-3x^{2}+5x-2):(x^{2}-x+1)$b)...
- 7.31.Cho đa thức $A(x)=3x^{4}+11x^{3}-5x^{2}-19x+10$. Tìm đa thức H(x) sao cho...
- 7.32. Tìm số m sao cho đa thức $P(x)=2x^{3}-3x^{2}+x+m$ chia hết cho đa thức x + 2.
b) Một cách khác để chứng minh rằng nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(x) chia hết cho x - a là áp dụng công thức đa thức Newton. Nếu x = a là nghiệm của P(x), ta có thể phân tích đa thức P(x) theo dạng P(x) = (x - a) * Q(x) và do đó, P(x) sẽ chia hết cho x - a.
a) Triển khai cách chứng minh khác, ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí khai triển đa thức. Nếu P(x) chia hết cho x - a, ta có thể viết P(x) = (x - a) * Q(x), với Q(x) là một đa thức khác. Khi đó, P(a) = (a - a) * Q(a) = 0, nghĩa là a là nghiệm của P(x).
b) Để chứng minh rằng nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a, ta sử dụng định lí phép chia đa thức. Theo định lí này, nếu x = a là nghiệm của P(x), tức là P(a) = 0, từ đó P(x) chia hết cho x - a.
a) Để chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho x - a thì a là một nghiệm của đa thức P(x), ta áp dụng định lí chia của đa thức. Theo định lí chia, khi chia đa thức P(x) cho x - a ta được phần dư bằng 0, tức là P(a) = 0. Do đó, a là một nghiệm của đa thức P(x).