4.38.Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:a) AC = BD.b)...

a) Phương pháp giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là O.
Xét tam giác ABC và DCB có:
- \(\widehat{BAC} = \widehat{CDB} = 90^{\circ}\) (giả thiết)
- AB = CD (giả thiết)
- BC chung

Do đó, tam giác ABC ≅ tam giác DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Phương pháp giải:

Vì tam giác ABC ≅ tam giác DCB nên \(\widehat{ACB} = \widehat{DBC}\) (hai góc tương ứng).
Xét tam giác OBC có:
\(\widehat{OCB} + \widehat{CBO} + \widehat{BOC} = 180^{\circ}\).
Mà \(\widehat{OCB} = \widehat{CBO}\) do \(\widehat{ACB} = \widehat{DBC}\) nên \(2 \widehat{CBO} + \widehat{BOC} = 180^{\circ}\).

Suy ra \(2 \widehat{CBO} = 180^{\circ} - \widehat{BOC}\).
Do đó, \(\widehat{CBO} = \frac{180^{\circ} - \widehat{BOC}}{2}\) (1).

Xét tam giác ABD và DCA có:
- AB = CD (giả thiết)
- BD = AC (chứng minh ở câu a)
- AD chung

Do đó, tam giác ABD ≅ tam giác DCA (cạnh - cạnh - cạnh).
Suy ra, \(\widehat{ADB} = \widehat{DAC}\).

Xét tam giác OAD có:
\(\widehat{OAD} + \widehat{ADO} + \widehat{AOD} = 180^{\circ}\).
Mà \(\widehat{OAD} = \widehat{ADO}\) do \(\widehat{ADB} = \widehat{DAC}\) nên \(2 \widehat{ADO} + \widehat{AOD} = 180^{\circ}\).

Suy ra \(2 \widehat{ADO} = 180^{\circ} - \widehat{AOD}\).
Do đó, \(\widehat{ADO} = \frac{180^{\circ} - \widehat{AOD}}{2}\) (2).

Mà \(\widehat{AOD} = \widehat{BOC}\) (hai góc đối đỉnh) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra, \(\widehat{CBO} = \widehat{ADO}\) hay \(\widehat{CBD} = \widehat{ADB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) AC = BD
b) AD // BC