Bài tập 5.Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957. Quỹ đạo của...

Để giải bài toán này, ta sẽ chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F1 của elip. Khi đó, elip có phương trình là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0.

Theo đề bài, vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm. Vì bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm, nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần nhất là 4583 dặm và xa nhất là 5342 dặm.

Giả sử vệ tinh có tọa độ là M(x; y), khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là MF1 = a + $\frac{c}{a}$ x. Vì -a ≤ x ≤ a, nên a - c ≤ MF1 ≤ a + c. Do đó, khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất từ vệ tinh đến tâm Trái Đất lần lượt là a - c và a + c.

Suy ra:
a - c = 4583
a + c = 5342

Giải hệ phương trình ta có:
a = 4962.5
c = 379.5

Từ đó, tính được e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{379.5}{4962.5}$ ≈ 0.076

Vậy tâm sai của quỹ đạo này xấp xỉ 0.076.