Bài tập 2.Các đường conic có phương trình như sau là đường elip hay hypebol? Tìm độ dài các...

Phương pháp giải:

Để xác định đường conic là elip hay hyperbol, ta chỉ cần quan sát hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ trong phương trình.

a) Với phương trình $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$, ta thấy hệ số của $x^{2}$ lớn hơn hệ số của $y^{2}$. Do đó, đường conic này là elip.

Để tìm độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, và tâm sai của elip, ta cần tìm ra a, b, và c:
- Từ phương trình, ta có a = 10 và b = 8.
- Tìm c: $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = \sqrt{36} = 6$.
- Độ dài trục lớn là 2a = 20, và trục bé là 2b = 16.
- Toạ độ tiêu điểm là F1(-6, 0) và F2(6, 0).
- Tiêu cự là 2c = 12.
- Tâm sai là $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

b) Với phương trình $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$, ta thấy hệ số của $x^{2}$ nhỏ hơn hệ số của $y^{2}$. Do đó, đường conic này là hyperbol.

Để tìm độ dài các trục, toạ độ tiêu điểm, tiêu cự, và tâm sai của hyperbol, ta cần tìm ra a, b, và c:
- Từ phương trình, ta có a = 6 và b = 8.
- Tìm c: $c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{100} = 10$.
- Độ dài trục thực là 2a = 12, và trục ảo là 2b = 16.
- Toạ độ tiêu điểm là F1(-10, 0) và F2(10, 0).
- Tiêu cự là 2c = 20.
- Tâm sai là $e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi là:
a) Đường conic có phương trình $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$ là đường elip với độ dài trục lớn là 20, trục bé là 16, toạ độ tiêu điểm là F1(-6, 0) và F2(6, 0), tiêu cự là 12, và tâm sai là $\frac{3}{5}$.
b) Đường conic có phương trình $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$ là đường hyperbol với độ dài trục thực là 12, trục ảo là 16, toạ độ tiêu điểm là F1(-10, 0) và F2(10, 0), tiêu cự là 20, và tâm sai là $\frac{5}{3}$.