Bài tập 5. Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$.a. Chứng tỏ rằng...

a. Cách làm:
Để chứng minh rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C), ta substitude tọa độ của điểm M vào phương trình của đường tròn để kiểm tra xem có thoả mãn hay không. Nếu với M(4; 6) mà phương trình đúng, tức là M thuộc đường tròn.

b. Cách làm:
Để viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6), ta cần tìm tọa độ tâm của đường tròn (I) và bán kính R. Sau đó, sử dụng công thức tính phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm bất kỳ.

c. Cách làm:
Để viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng đã cho, ta cần tính khoảng cách giữa tâm của đường tròn và đường thẳng, sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng để tìm ra phương trình tiếp tuyến.

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết:

a. Ta có: $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$. Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20}$ = 5. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: $(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0$ $\Leftrightarrow$ $-3x - 4y + 36 = 0$ $\Leftrightarrow$ $3x + 4y - 36 = 0$.

c. Tiếp tuyến $\Delta$ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng $\Delta$: $4x + 3y + c = 0$ (c $\neq$ 2022). Ta có: R = d(I; $\Delta$) $\Leftrightarrow$ $\frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}$ = 5 $\Leftrightarrow$ $\frac{|10 + c|}{5}$ = 5 $\Leftrightarrow$ |10 + c| = 25 $\Leftrightarrow$ c = 15 hoặc c = -35. Vậy $\Delta$: $4x + 3y + 15 = 0$ hoặc $\Delta$: $4x + 3y - 35 = 0$.