Bài tập 4 trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 CTST: HÌnh chóp tam giác đều có diện tích...

Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều:
$S = S_{day} + \frac{1}{2} P \times l$
Trong đó:
- $S$ là diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều.
- $S_{day}$ là diện tích đáy của hình chóp tam giác đều.
- $P$ là chu vi của đáy hình chóp tam giác đều.
- $l$ là chiều cao của hình chóp tam giác đều.

Theo thông tin đã cho:
- $S_{day} = 30cm^{2}$,
- Mỗi mặt bên có diện tích $42cm^{2}$ nên $P = \sqrt{42 \times 4} = 12\sqrt{3} \, (cm)$.

Do tam giác đều nên chiều cao của hình chóp tam giác đều cũng chính là đường cao của tam giác đều và bằng $h = AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ với $a$ là cạnh tam giác đều.

Với $S = S_{day} + \frac{1}{2} P \times l = 30 + \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = 30 + 18a = 42$, suy ra $a = \frac{12}{3} = 4$.

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều là $S = 30 + 18 \times 4 = 30 + 72 = 102cm^{2}$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là D. $156cm^{2}$.