Bài tập 4.Chứng minh rằng: $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$
Câu hỏi:
Bài tập 4. Chứng minh rằng: $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Dung
Để chứng minh rằng $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$, ta có thể sử dụng công thức tổ hợp chập k của n: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Dựa vào công thức trên, ta có thể tính các giá trị như sau:
$C_{5}^{0} = 1$, $C_{5}^{1} = 5$, $C_{5}^{2} = 10$, $C_{5}^{3} = 10$, $C_{5}^{4} = 5$, $C_{5}^{5} = 1$.
Thay các giá trị vào biểu thức ban đầu, ta được:
$C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5} = 1-5+10-10+5-1 = 0$.
Vậy ta đã chứng minh được rằng $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$.
Dựa vào công thức trên, ta có thể tính các giá trị như sau:
$C_{5}^{0} = 1$, $C_{5}^{1} = 5$, $C_{5}^{2} = 10$, $C_{5}^{3} = 10$, $C_{5}^{4} = 5$, $C_{5}^{5} = 1$.
Thay các giá trị vào biểu thức ban đầu, ta được:
$C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5} = 1-5+10-10+5-1 = 0$.
Vậy ta đã chứng minh được rằng $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 1.Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:a....
- Bài tập 2.Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:a. ${{(2+\sqrt{2})}^{4}}$b....
- Bài tập 3.Tìm hệ số của $x^{3}$trong khai triển $(3x-2)^{5}$
- Bài tập 5.Cho $A=\{{{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{...
Kết quả trên có thể mở rộng vào việc chứng minh các công thức khác liên quan đến hệ số nhị thức trong toán học.
Đây chính là một minh chứng khác về tính chất đặc biệt của các hệ số nhị thức và cách tính tổng của chúng.
Vậy ta kết luận rằng $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} = 0$.
Ta biết rằng $C_{n}^{n} = 1$ và $C_{n}^{0} = 1$, nên biểu thức trên trở thành: $1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$.
Áp dụng công thức đổi dấu vào biểu thức $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}$, ta được: $C_{5}^{0} - C_{5}^{1} + C_{5}^{2} - C_{5}^{3} + C_{5}^{4} - C_{5}^{5} = C_{5}^{5} - C_{5}^{4} + C_{5}^{3} - C_{5}^{2} + C_{5}^{1} - C_{5}^{0}$.