Bài tập 4.59. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I,...

Để giải bài toán này, ta cần áp dụng kiến thức về trọng tâm của tam giác.

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NM}$, $\overrightarrow{CD}$.
Các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{NO}$, $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{CD}$.

b) Để chứng minh rằng $BI = IJ = JD$, ta có:
- Gọi I là trọng tâm tam giác ABC, ta có: $\overrightarrow{BI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ (1)
- Gọi J là trọng tâm tam giác ACD, ta có: $\overrightarrow{JD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ (2)
- Ta có $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JD}$
- Từ (1), (2) và phương trình trên, suy ra $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{JD}$
- Do đó, $BI = IJ = JD$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $BI = IJ = JD$.