34.Xác định hệ số của $x^{3}$trong khai triển biểu...

Để xác định hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \((\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^5\), ta sử dụng công thức khai triển của dạng \( (a+b)^n \):
\[
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
Áp dụng công thức trên với \(a=\frac{2}{3}x\), \(b=\frac{1}{4}\), và \(n=5\), ta có:
\[
(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^5 = (\frac{2}{3}x)^5 + 5(\frac{2}{3}x)^4(\frac{1}{4}) + 10(\frac{2}{3}x)^3(\frac{1}{4})^2 + 10(\frac{2}{3}x)^2(\frac{1}{4})^3 + 5(\frac{2}{3}x)(\frac{1}{4})^4 + (\frac{1}{4})^5
\]
Simplify và thu gọn ta được:
\[
\frac{32}{243}x^5 + \frac{20}{81}x^4 + \frac{5}{27}x^3 + \frac{5}{72}x^2 + \frac{5}{384}x + \frac{1}{1024}
\]
Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \((\frac{2}{3}x+\frac{1}{4})^5\) là \(\frac{5}{27}\).