Bài tập 7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$a. Tìm các...

a. Để tìm các giao điểm A1, A2 của hyperbol với trục hoành, ta đặt y = 0 vào phương trình của hyperbol:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$$
Simplify ta được: x^2 = a^2
Vì hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên A1(-a, 0) và A2(a, 0).

b. Chứng minh: x^2 ≥ a^2
Giả sử x^2 ≥ a^2, tương đương với $\frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 1$
Điều này luôn đúng vì ta có phương trình hyperbol: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, từ đó suy ra $\frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq 1$
Nếu điểm M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x < 0, từ x^2 ≥ a^2 suy ra x ≤ -a.
Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x > 0, từ x^2 ≥ a^2 suy ra x ≥ a.

c. Để tìm các điểm M1, M2 thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol sao cho khoảng cách M1M2 nhỏ nhất, ta chứng minh rằng M1M2 có giới hạn dưới.
Ta gọi M1(x1, y1) thuộc nhánh bên trái nên x1 < 0, M2(x2, y2) thuộc nhánh bên phải nên x2 > 0.
Theo phần b đã chứng minh, ta có x1 ≤ -a và x2 ≥ a nên |x1| + |x2| ≥ a + a = 2a.
Do đó, khoảng cách M1M2 ≥ A1A2.
Để khoảng cách M1M2 nhỏ nhất, ta cần M1 trùng với A1 và M2 trùng với A2.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi là:
a. A1(-a, 0) và A2(a, 0)
b. Nếu điểm M thuộc nhánh bên trái trục tung thì x ≤ -a, nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục tung thì x ≥ a.
c. M1(-a, 0) và M2(a, 0) là các điểm cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol sao cho khoảng cách M1M2 nhỏ nhất.