Bài tập 7.35. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.a. Tìm các...
Câu hỏi:
Bài tập 7.35. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.
a. Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2 , B1B2.
b. Xét một điểm bất kì M(x0,y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Hạnh
a. Cách làm 1: - Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục hoành, ta đặt y = 0 và giải phương trình elip. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$ $x^2 = a^2$ Vậy tọa độ A1 là (-a, 0). Tương tự, ta có tọa độ A2 là (a, 0). Do đó, A1A2 = 2a.- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục tung, ta đặt x = 0 và giải phương trình elip. $\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $y^2 = b^2$ Vậy tọa độ B1 là (0, -b). Tọa độ B2 là (0, b). B1B2 = 2b.Cách làm 2:- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục hoành, ta có A1 (-a, 0) và A2 (a, 0). => A1A2 = 2a.- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục tung, ta có B1 (0, -b) và B2 (0, b). => B1B2 = 2b.b. Chứng minh: $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.- Chứng minh $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$: $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$ Chia cho b^2, ta có: $1 \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}$ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}$ Vì a > b > 0, điều này luôn đúng. Vậy $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$.- Chứng minh $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$: Tương tự, chứng minh tương tự sẽ cho ra $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$.- Vậy từ những chứng minh trên ta được $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC....
- Bài tập 7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).a. Viết phương trình đường...
- Bài tập 7.34. Cho đường tròn (C) có phương trình x2+ y2- 4x + 6y -12 = 0.a. Tìm tọa độ...
- Bài tập 7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$a. Tìm các...
- Bài tập 7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng...
{ "Câu trả lời 1": "Để tìm các giao điểm của elip với trục hoành và trục tung, ta thay x=0 vào phương trình elip để tìm A1, A2 và thay y=0 để tìm B1, B2.", "Câu trả lời 2": "Khi thay x=0 vào phương trình elip, ta được y = ±b. Do đó, các giao điểm của elip với trục hoành là A1(0, b) và A2(0, -b).", "Câu trả lời 3": "Khi thay y=0 vào phương trình elip, ta được x = ±a. Vậy các giao điểm của elip với trục tung là B1(a, 0) và B2(-a, 0).", "Câu trả lời 4": "Để tính độ dài A1A2, B1B2, ta có A1A2 = 2b và B1B2 = 2a.", "Câu trả lời 5": "Để chứng minh $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$, ta thay M(x0, y0) vào phương trình elip và sử dụng định lý Pitago để chứng minh.", "Câu trả lời 6": "Để chứng minh $b\leq OM\leq a$, ta tính khoảng cách từ M đến trung điểm của các đường chéo của elip và so sánh với a và b."}