Bài tập 7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC....

Để tính diện tích tam giác ABC, trước hết ta cần tìm đường cao kẻ từ điểm A của tam giác đó.

Để làm điều đó, ta cần tìm phương trình của đường thẳng BC. Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{BC}(-5;-1)$ và đi qua điểm B(3; 5). Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n}(1; -5)$. Vậy phương trình đường thẳng BC là $x - 5y +22 = 0$.

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có $d_{(A; BC)}=\frac{|1.1-5.(-1)+22|}{\sqrt{1^{2}+5^{2}}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$.

Độ dài đoạn BC là $BC = \sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$.

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)} \cdot BC=\frac{1}{2} \cdot \frac{14\sqrt{26}}{13} \cdot \sqrt{26}=14$.

Vậy diện tích tam giác ABC là 14.