Bài tập 68 trang 85 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 2 cánh diều:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,...

Với AN.BI.CM = BN.IC.AM, ta áp dụng định lý Stewart vào tam giác ABC có: AI^2*BC + BI^2*AC = CI^2*AB + AN*CM*BC. Kết hợp điều cần chứng minh AN.BI.CM = BN.IC.AM, ta suy ra công thức trên là đúng.

Gọi O là giao điểm của AI và BC. Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ANIO ta có AN*IO + AO*IN = AI*NO. Tương tự định lý Ptolemy trong tứ giác CIMB ta có CM*IB + CB*MI = CI*MB. Kết hợp hai công thức trên, ta chứng minh được AN.BI.CM = BN.IC.AM.

Gọi H là giao điểm của AC và BN, K là giao điểm của AC và IM. Do góc AIC bằng góc ABH, góc ACI bằng góc AHB nên hai tam giác AHB và ACI đồng dạng. Tương tự, hai tam giác AKB và ANM cũng đồng dạng. Từ đó suy ra AM/MN = AK/AN và BI/IA = BH/HC. Kết hợp hai tỷ số trên, ta có AN.BI.CM = BN.IC.AM.

Đặt BI = x, AN = y, CM = z. Khi đó, ta có BM = x + z, CN = y + z. Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác ABIN, ta có x(y+z) + yx = xz + yz. Tương tự, áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác BCIM, ta có y(x+z) + zx = zy + xz. Kết hợp hai công thức trên, ta chứng minh được AN.BI.CM = BN.IC.AM.

Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BN tại D và CM tại E. Khi đó, ta có các tam giác BEI và BNI đồng dạng với nhau nên BN/BI = EI/EI. Tương tự, ta có các tam giác CID và CIE đồng dạng với nhau nên CI/CM = EI/IE. Kết hợp hai tỷ số trên, ta có AN.BI.CM = BN.IC.AM.