Bài 7 :Cho hàm số y...

Để chứng minh hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (0; +∞), ta cần chứng minh rằng đạo hàm của hàm số đó luôn âm trên khoảng (-∞; 0) và luôn dương trên khoảng (0; +∞).

1. Chứng minh đạo hàm của hàm số y = -2x^2/x-2x^2 luôn âm trên khoảng (-∞; 0):
Đạo hàm của hàm số y = -2x^2/x-2x^2 là y' = (-4x(x-2) - (-2x^2)(1)) / (x-2)^2 = (-4x^2 + 8x +2x^2) / (x-2)^2 = (-2x^2 +8x) / (x-2)^2 = -2x(x-4) / (x-2)^2
Để chứng minh đạo hàm luôn âm trên khoảng (-∞; 0), ta chứng minh x(x-4) luôn dương khi x < 0.
Chứng minh: Với x < 0, ta có:
- Khi x < 0, x < 0 và x-4 < 0, suy ra x(x-4) > 0
Vậy đạo hàm luôn âm trên khoảng (-∞; 0).

2. Chứng minh đạo hàm của hàm số y = -2x^2/x-2x^2 luôn dương trên khoảng (0; +∞):
Đạo hàm của hàm số y = -2x^2/x-2x^2 là y' = (-4x(x-2) - (-2x^2)(1)) / (x-2)^2 = (-4x^2 + 8x +2x^2) / (x-2)^2 = (-2x^2 +8x) / (x-2)^2 = -2x(x-4) / (x-2)^2
Để chứng minh đạo hàm luôn dương trên khoảng (0; +∞), ta chứng minh x(x-4) luôn dương khi x > 0.
Chứng minh: Với x > 0, ta có:
- Khi x > 0, x > 0 và x-4 < 0, suy ra x(x-4) < 0
Vậy đạo hàm luôn dương trên khoảng (0; +∞).

Do đó, ta kết luận hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (0; +∞).