Bài tập 8.14. Biểu diễn $(3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các...
Câu hỏi:
Bài tập 8.14. Biểu diễn $(3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Ngọc
Để biểu diễn $(3+\sqrt{2})^5 - (3-\sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$, ta cần tính các giá trị của $(3+\sqrt{2})^5$ và $(3-\sqrt{2})^5$.Ta có:$(3+\sqrt{2})^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5$$= 243 + 405\sqrt{2} + 270\sqrt{2}^2 + 90\sqrt{2}^3 + 15\sqrt{2}^4 + 2\sqrt{2}^5$$= 243 + 405\sqrt{2} + 270 \cdot 2 + 90\sqrt{2^3} + 15\sqrt{2^4} + 2\sqrt{2^5}$$= 243 + 405\sqrt{2} + 540 - 90\sqrt{2} + 15\cdot 2 - 2\sqrt{2}$$= 783 + 315\sqrt{2}$Tương tự:$(3-\sqrt{2})^5 = 783 - 315\sqrt{2}$Vậy,$(3+\sqrt{2})^5 - (3-\sqrt{2})^5 = (783 + 315\sqrt{2}) - (783 - 315\sqrt{2}) = 1178\sqrt{2}$Vậy kết quả là $1178\sqrt{2}$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 8.12. Khai triển các đa thức:a. (x -3)4b. (3x - 2y)4c. (x+5)4+ (x - 5)4d. (x - 2y)5
- Bài tập 8.13. Tìm hệ số của x4trong khai triển của (3x -1)5
- Bài tập 8.15. a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)5để tính giá trị...
- Bài tập 8.16. Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ...
{ "content1": "Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức binomial Newton để mở rộng $(3\pm\sqrt{2})^{5}$.", "content2": "Ta có $(3+\sqrt{2})^{5}=(3^{5}+5\cdot 3^{4}\cdot\sqrt{2}+10\cdot 3^{3}\cdot 2+10\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}\sqrt{2}+5\cdot 3\cdot 2^{3}+\sqrt{2}^{5})$.", "content3": "Sau khi tính toán và rút gọn, ta sẽ thu được kết quả $(3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}=160+84\sqrt{2}$. Vậy a=160 và b=84."}