Bài tập 6.17. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in...

Để giải bài tập trên, ta cần đi tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai $x^{2}+(m+1)x+2m+3$ luôn lớn hơn 0 với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Để tam thức bậc hai luôn dương, ta cần giải phương trình:
$$\Delta = (m+1)^{2}-4(2m+3) > 0$$
Khi đó, ta được phương trình bậc nhất:
$$m^{2}-6m-11 < 0$$
Giải phương trình trên ta được khoảng giá trị của m:
$$-2\sqrt{5}+3 < m < 2\sqrt{5}+3$$

Vậy, các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai $x^{2}+(m+1)x+2m+3$ luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ là $-2\sqrt{5}+3 < m < 2\sqrt{5}+3$.