Bài tập 4.3 trang 80 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT:Cho tam giác ABC, từ điểm D...

Gọi M là giao điểm của AE và BC. Ta có $\frac{BE}{EA} = \frac{BM}{MC}$ và $\frac{CD}{DB} = \frac{CM}{BM}$. Kết hợp với tỉ lệ 3 điểm thẳng hàng ta có: $\frac{AE}{AB} = \frac{CM}{BC}$ và $\frac{AF}{AC} = \frac{BM}{BC}$. Từ đó suy ra $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC}=1$.

Kẻ AH song song với BC, trong tam giác ABC áp dụng định lí ta có: $\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$. Khi đó $\frac{AF}{AC} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$ và $\frac{AE}{AB} \cdot \frac{CF}{BF} = 1$. Từ đó suy ra $\frac{AF}{AC} + \frac{AE}{AB} = 1$.

Gọi H là giao điểm của AE và BF. Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC ta có: $\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$. Từ đó suy ra $\frac{AF}{AC} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$ và $\frac{AE}{AB} \cdot \frac{CF}{BF} = 1$. Kết hợp hai đẳng thức này ta được $\frac{AF}{AC} + \frac{AE}{AB} = 1$.