3.32.Vẽ hình minh họa, ghi giả thiết, kết luận bằng kí hiệu và chứng minh định lí sau: Nếu...

Giả sử đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng song song và đường thẳng EF cắt AB tại M. Khi đó, gọi O là giao điểm của EF và CD. Ta chứng minh tam giác OMF và OND là đồng dạng (cùng có góc nội tiếp). Do đó, ta có OF/OD=MF/ND với MF/ND=OF/OD=1 nên ta có OF=OD. Vậy, đường thẳng EF cắt cả hai đường thẳng AB và CD.

Giả sử AB và CD là hai đường thẳng song song. Khi đường thẳng EF cắt AB tại M, lấy O là giao điểm của EF và CD. Ta sẽ chứng minh tam giác OME và OND là tam giác đồng dạng (cùng có góc nội tiếp). Do đó, ta có OM/ON=EM/DN với EM/DN=1 nên ta có OM=ON. Vậy, đường thẳng EF cắt cả hai đường thẳng AB và CD.

Giả sử AB là đường thẳng song song với CD và EF là đường thẳng cắt AB tại M. Gọi O là giao điểm của EF và CD. Ta có hai tam giác OMF và ODN đồng dạng (cùng có góc nội tiếp). Từ đó, ta có OF/OD=MF/DN với MF/DN=OF/OD=1 nên ta có OF=OD. Vậy, đường thẳng EF cắt cả hai đường thẳng AB và CD.

Giả sử đường thẳng AB song song với đường thẳng CD và đường thẳng EF cắt đồng thời AB và CD tại các điểm M và N. Khi đó, ta chứng minh AMN và END là hai tam giác đồng dạng (cùng có góc B và góc D nội tiếp). Do đó, ta có AM/EN=AN/ED với AM/EN=1 và AN/ED=AM/EN=1 nên ta có AM=EN. Từ đó suy ra, đường thẳng EF cắt đường thẳng AB tại điểm M.