Giải bài tập toán dạng: So sánh, chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức
Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải bài toán dạng: So sánh, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức Toán lớp 9. Chúng ta sẽ được hướng dẫn về phương pháp giải và cách vận dụng vào các bài tập cụ thể.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- So sánh các căn thức:
Với hai số dương a, b bất kỳ, chúng ta có quy tắc: a < b ⇔ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$. Đồng thời, $A^{2}$ ≥ 0 với mọi biểu thức A.
Ví dụ: Chúng ta có thể so sánh các biểu thức như $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$, hoặc 16 và $\sqrt{15}\cdot\sqrt{17}$ để áp dụng quy tắc này.
- Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Chúng ta có thể sử dụng biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả, hoặc đề cao bất đẳng thức Cô-si để chứng minh các bất đẳng thức. Ví dụ như chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a và b.
Cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức như trong ví dụ tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$ khi x ≥ 0.
Thông qua việc áp dụng những phương pháp và quy tắc trên, chúng ta sẽ có cơ hội nắm vững cách giải các dạng toán so sánh, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức. Hy vọng bài học sẽ giúp các bạn cải thiện kiến thức và đạt được mục tiêu học tập của mình.
Bài tập và hướng dẫn giải
1. Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$
b, $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và $\sqrt{11}+\sqrt{12}$
c, $\sqrt{100}+\sqrt{200}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196}$
d, $\sqrt{a}+\sqrt{7}$ và $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$
b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$
c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương)
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý)
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a, Y = $x+\sqrt{x}+4$
b, Y = $x-\sqrt{x}+10\frac{1}{4}$
c, Y = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+2}$
d, Y = $\frac{\sqrt{x+2}}{x-\sqrt{x}+3}$