1. Không dùng máy tính hãy so sánh:a, 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$b, $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và...
Câu hỏi:
1. Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$
b, $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và $\sqrt{11}+\sqrt{12}$
c, $\sqrt{100}+\sqrt{200}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196}$
d, $\sqrt{a}+\sqrt{7}$ và $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Phương
Phương pháp giải:a. Giả sử $8 > \sqrt{15}+\sqrt{17}$Ta có: $(8)^2>(\sqrt{15}+\sqrt{17})^2$$64>15+17+2\sqrt{255}$$64>32+2\sqrt{255}$$32>2\sqrt{255}$$16>\sqrt{255}$$256>255$Vậy ta thấy đúng. b. Ta có:$(\sqrt{10}+\sqrt{13})^2 = 10+13+2\sqrt{10 \cdot 13} = 23+2\sqrt{130}$$(\sqrt{11}+\sqrt{12})^2 = 11+12+2\sqrt{11 \cdot 12} = 23+2\sqrt{132}$Vì $130<132$ nên $\sqrt{130}<\sqrt{132}$ $23+2\sqrt{130} < 23+2\sqrt{132}$Vậy $(\sqrt{10}+\sqrt{13})^2 < (\sqrt{11}+\sqrt{12})^2$ c. Ta có:$(\sqrt{100}+\sqrt{200})^2 = 100+200+2\sqrt{100 \cdot 200} = 300+2\sqrt{20000}$$(\sqrt{104}+\sqrt{196})^2 = 104+196+2\sqrt{104 \cdot 196} = 300+2\sqrt{20384}$Vì $20000<20384$ nên $\sqrt{20000}<\sqrt{20384}$$300+2\sqrt{20000} < 300+2\sqrt{20384}$Vậy $(\sqrt{100}+\sqrt{200})^2 < (\sqrt{104}+\sqrt{196})^2$ d. Ta có:$(\sqrt{a}+\sqrt{a+7})^2 = a+a+7+2\sqrt{a(a+7)} = 2a+7+2\sqrt{a^2+7a}$$(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5})^2 = a+2+a+5+2\sqrt{(a+2)(a+5)} = 2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10}$Vì $a^2+7a < a^2+7a+10$ nên $\sqrt{a^2+7a} < \sqrt{a^2+7a+10}$$2\sqrt{a^2+7a} < 2\sqrt{a^2+7a+10}$$2a+7+2\sqrt{a^2+7a} < 2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10}$Vậy $(\sqrt{a}+\sqrt{a+7})^2 < (\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5})^2$ Câu trả lời cho câu hỏi trên:a. 8 > $\sqrt{15}+\sqrt{17}$b. $\sqrt{10}+\sqrt{13} < \sqrt{11}+\sqrt{12}$c. $\sqrt{100}+\sqrt{200} < \sqrt{104}+\sqrt{196}$d. $\sqrt{a}+\sqrt{7} < \sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$
Câu hỏi liên quan:
{ "câu 1": "a. Để so sánh 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$, ta có: $\sqrt{15} < 4$ và $\sqrt{17} < 5$. Vậy $\sqrt{15}+\sqrt{17} < 9$, suy ra 8 > $\sqrt{15}+\sqrt{17}$.", "câu 2": "b. Để so sánh $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và $\sqrt{11}+\sqrt{12}$, ta có $\sqrt{10}+\sqrt{13} > \sqrt{11}+\sqrt{12}$ vì $\sqrt{13} > \sqrt{12}$ và $\sqrt{10} > \sqrt{11}$.", "câu 3": "c. Để so sánh $\sqrt{100}+\sqrt{200}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196}$, ta có $\sqrt{100}+\sqrt{200} = 10+14\sqrt{2}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196} = 4\sqrt{2} + 14$. Ta thấy $10+14\sqrt{2} > 4\sqrt{2} + 14$, suy ra $\sqrt{100}+\sqrt{200} > \sqrt{104}+\sqrt{196}$.", "câu 4": "d. Để so sánh $\sqrt{a}+\sqrt{7}$ và $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$, ta có $\sqrt{a}+\sqrt{7} > \sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$ vì $\sqrt{a} > \sqrt{a+2}$ và $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.", "câu 5": "Cách khác: Ta có thể sử dụng phép đổi dấu để so sánh, chẳng hạn như bằng cách lấy bình phương hai vế và so sánh các biểu thức thu được.", "câu 6": "Cách khác: Sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp bằng cách so sánh từng thành phần của biểu thức."}