2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:a, $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$b,...
Câu hỏi:
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$
b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$
c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương)
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý)
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Ngọc
1. Giải các bất đẳng thức đã cho:a. Chứng minh $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$:- Ta có $a^{3}+b^{3} \geq a^{2}b+ab^{2}$ (do $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2} = (a-b)^{2}(a+b) \geq 0$)- Vậy $ab(a+b) \leq a^{3}+b^{3}$.b. Chứng minh $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$:- Ta có $(\sqrt{a^{2}+1}-1)^{2}\geq 0$, từ đó suy ra $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$.c. Chứng minh $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$:- Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$, từ đó suy ra $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.d. Chứng minh $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$:- Ta có $(ay-bx)^{2}\geq 0$, từ đó suy ra $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$.2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:a. Chứng minh $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$:- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $a, b$: $(a+b)(a+b) \geq 4ab$- Từ đó suy ra $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$.b. Chứng minh $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$:- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $1, ab$: $(1+ab)(1+ab) \geq 4ab$- Từ đó suy ra $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$.c. Chứng minh $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$:- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm $a, b; b, c; c, a$: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$- Từ đó suy ra $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$.Vậy là đã chứng minh các bất đẳng thức được đề ra.
Câu hỏi liên quan:
{ "1": "a. Ta có $ab(a+b) = a^{2}b + ab^{2} \leq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2} \leq a^{3}+b^{3}$", "2": "b. Đặt $x = a^{2}$, ta có $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}} = \frac{x+2}{\sqrt{x+1}} \geq 2$", "3": "c. Ta có $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$", "4": "d. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$"}