BÀI TẬP6.21. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:a) $f(x) = –x^{2}+ 6x + 7;$b) $g(x) =...

Phương pháp giải bài toán trên như sau:

a) Để xác định dấu của một tam thức bậc hai, ta cần xem dấu của hệ số $a$ của $x^2$ trong tam thức đó. Nếu $a > 0$ thì tam thức sẽ mở lên và đạt giá trị lớn nhất tại điểm phân cực ngược. Ngược lại, nếu $a < 0$ thì tam thức sẽ lật xuống và đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm phân cực ngược.

Vậy đối với bài toán trên:
- a) $f(x) = –x^{2} + 6x + 7$ có $a = -1 < 0$. Phương trình $-x^2 + 6x + 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 7, x_2 = -1$. Vì $a < 0$ nên $f(x)$ sẽ lật xuống và nhận giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2(-1)} = -3$. Khi $x < -1$ hoặc $x > 7$, $f(x) < 0$ và khi $-1 < x < 7$, $f(x) > 0$.

b) $g(x) = 3x^{2} – 2x + 2$ có $a = 3 > 0$. Do đó, $g(x)$ sẽ mở lên và nhận giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2(3)} = \frac{1}{3}$. Vì $a > 0$, nên $g(x) > 0$ với mọi giá trị của $x \in \mathbb{R}$.

c) $h(x) = –16x^{2} + 24x – 9$ có $a = -16 < 0$. Phương trình $-16x^2 + 24x - 9 = 0$ có nghiệm kép $x = \frac{24}{2(-16)} = \frac{3}{4}$. Với $a < 0$, ta có $h(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{4}\}$.

d) $k(x) = 2x^{2} – 6x + 1$ có $a = 2 > 0$. Phương trình $2x^2 - 6x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. $k(x)$ sẽ mở lên và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2}$. Với $a > 0$, khi $x < \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ hoặc $x > \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ thì $k(x) < 0$ và khi $\frac{3 - \sqrt{7}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ thì $k(x) > 0$.

Vậy đây là phương pháp giải bài toán xác định dấu của các tam thức bậc hai và xác định khoảng giá trị mà chúng nhận được.