Bài tập 4.37. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-3; 2), B(1; 5) và C(3; -1).a) Chứng minh...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

a) Để chứng minh rằng ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta cần kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Ta tính vector $\overrightarrow{AB}$ và vector $\overrightarrow{AC}$, nếu chúng không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác. Sau đó, để tìm toạ độ của trọng tâm G ta sử dụng công thức $G(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3})$.

b) Để tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC, ta cần tìm toạ độ H sao cho đường thẳng BH vuông góc với AC và CH vuông góc với AB. Từ đó suy ra toạ độ của H.

c) Để tìm toạ độ của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần sử dụng mối quan hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tọa độ của các đỉnh tam giác. Ta có thể sử dụng công thức $\overrightarrow{IH} = 3\overrightarrow{IG}$ để tìm toạ độ của I.

Vậy câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi trên như sau:

a) Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC là $G(\frac{1}{3}, 2)$.

b) Tọa độ của trực tâm H của tam giác ABC là $H(0, 3)$.

c) Tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.