Bài tập 4.13 trang 52 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho ∆ABC có AD, BE, CF lần lượt...

{
"content1": "Ta có tỉ số $\frac{AE}{EC}=\frac{sin\angle AEB}{sin\angle CEB}$ theo định lý sin trong tam giác vuông. Tương tự, ta có $\frac{CD}{DB}=\frac{sin\angle BDC}{sin\angle ADC}$ và $\frac{BF}{FA}=\frac{sin\angle AFC}{sin\angle BFC}$. Đổi sang dạng tỉ số sin, ta có $\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=\frac{sin\angle AEB}{sin\angle CEB}.\frac{sin\angle BDC}{sin\angle ADC}.\frac{sin\angle AFC}{sin\angle BFC}=1$ do tam giác ABC là tam giác góc."
"content2": "Áp dụng định lí siêu vi của các góc phân giác trong tam giác, ta có $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$, $\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{AB}$ và $\frac{BF}{FA}=\frac{BC}{AC}$. Thay vào biểu thức ban đầu ta có $\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{AB}.\frac{BC}{AC}=1$ do tam giác ABC là tam giác góc."
"content3": "Gọi I là giao điểm của AD và BE. Ta có $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BC}$ và $\frac{BI}{IE}=\frac{BA}{AC}$. Tương tự, ta có $\frac{CI}{IF}=\frac{CB}{BA}$. Nhân các tỉ số này ta được $\frac{AI}{DI}.\frac{BI}{IE}.\frac{CI}{IF}=\frac{AB}{BC}.\frac{BA}{AC}.\frac{CB}{BA}=1$. Do đó, ta có $\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=1$."
"content4": "Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABC với các đường phân giác, ta có $\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=\frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA}=1$. Vậy ta chứng minh được rằng $\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=1$."
}