Bài tập 4.12 trang 52 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho tam giác ABC, trung tuyến AI....

Để chứng minh rằng MN // BC, ta sẽ sử dụng các Định lí và tính chất sau:
1. Trong tam giác, đường phân giác chia một cạnh thành các phân đoạn có tỷ số bằng tỷ số các cạnh đối với một điểm trên cạnh đó.
2. Trong tam giác, nếu đường phân giác chia 2 cạnh bất kỳ thành các phân đoạn có tỷ số bằng nhau, thì đường đó sẽ song song với cạnh thứ ba.
3. Trong tam giác, nếu đường trung tuyến đi qua trung điểm của một cạnh, thì độ dài 2 phân đoạn được chia ra từ trung điểm đó sẽ bằng nhau.

Giả sử AI cắt BC tại D. Từ đó, ta sẽ có ID = IC (vì I là trung điểm của BC).
Áp dụng Định lí phân giác ta có: \( \dfrac{MA}{MB} = \dfrac{IA}{IB} \) (1)
Áp dụng Định lí phân giác ta có: \( \dfrac{NA}{NC} = \dfrac{IA}{IC} \) (2)

Từ (1), (2) và ID = IC, suy ra \( \dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC} \). Do đó, MN // BC (theo Định lí Thales đảo).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng MN // BC.