Bài tập 12 trang 12 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 cánh diều:Chứng minh rằng biểu thức P = (2y...

Để chứng minh rằng biểu thức \(P = (2y - x)(x + y) + x(y - x) - 2y(x + 5y) - 1\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y, ta có thể giải theo cách sau:

Ta có:
\[P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1\]
\[= 2xy + 2y^2 - x^2 - xy + xy - x^2 - 2xy - 10y^2 - 1\]
\[= (2xy - xy + xy - 2xy) + (2y^2 - 10y^2) + (-x^2 - x^2) - 1\]
\[= -8y^2 - 2x^2 - 1\]

Với mọi giá trị của x và y, ta có \(x^2 \geq 0\) và \(y^2 \geq 0\), nên \(-2x^2 \leq 0\) và \(-8y^2 \leq 0\). Điều này suy ra \(-8y^2 - 2x^2 - 1 \leq -1\) với mọi giá trị của biến x và y.

Vậy ta kết luận rằng biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.