Bài 103.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của goác A và...
Câu hỏi:
Bài 103. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của goác A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên Bc, H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:
a) OC vuông góc vưới FH;
b) Tam giác OAI là tam giác cân
c) Tam giác BAI là tam giác cân.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Việt
a) Để chứng minh $OC \perp FH$, ta có thể sử dụng hai cách sau:- Cách 1: Chứng minh tam giác OHC đồng dạng với tam giác OFC. Khi đó, ta sẽ có $CH = FC$, từ đó suy ra $OC \perp FH$.- Cách 2: Chứng minh $OC$ là đường phân giác của $\angle HOF$. Khi đó, $OC$ sẽ vuông góc với $FH$.b) Để chứng minh tam giác OAI là tam giác cân, ta cần chứng minh $OA = OI$. Để làm điều này, ta có thể sử dụng cơ sở đồng dạng của tam giác OHA và OFI.c) Để chứng minh tam giác BAI là tam giác cân tại B, ta cần chứng minh $AB = BI$. Để làm điều này, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.Vậy đó là các phương pháp giải và các câu trả lời cho bài toán trên. Các bước chi tiết có thể được thực hiện tuỳ theo cách giải mà bạn chọn.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬPBài 99.Cho hai tam giác ABc có $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}...
- Bài 100.Cho tam giác có $\widehat{BAC}=110^{\circ}$. Các đường trung trực của AB và AC cắt...
- Bài 101.Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách đều các đỉnh của tam giác...
- Bài 102*. Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB...
- Bài 104.Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm...
- Bài 105.Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.a) Chứng minh...
- Bài 106.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC ($D\in...
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OFC và tam giác AHC, ta có công thức AH^2 = AF^2 + FH^2 - 2(AF)(FH)cosA và FH^2 = HA^2 + AF^2 - 2(HA)(AF)cosC. Do đó, ta có AH^2 = HA^2 + 2(AF)(FH)cosC + AF^2 - 2(HA)(AF)cosC. Từ đó suy ra AH = FI.
Từ góc OCF = góc OAF và góc OCH = góc OAH, ta có góc OAF = góc OCH. Khi đó, ta dễ dàng nhận thấy góc OAF = góc OIC, do đó tứ giác AIOF nội tiếp. Từ đó suy ra góc OAI = góc OFI, tức tam giác OAI cũng là tam giác cân.
Để chứng minh tam giác OAI là tam giác cân, ta quan sát tam giác AHO. Ta có AH = FI (theo giả thiết), góc AHO = góc IFH (cùng là góc vuông). Do đó, tam giác AHO đồng dạng với tam giác IFH. Từ đó suy ra góc AIO = góc OIF, tức là tam giác OAI là tam giác cân.
Để chứng minh OC vuông góc với FH, ta sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ABC. Theo đó, ta có góc OAF = góc OCF và góc OCH = góc OAH. Từ đó suy ra góc OAF = góc OCH, tức là các tứ giác AFHO nội tiếp. Khi đó, góc FOH = góc FAH = 90 độ, suy ra OC vuông góc với FH.