Bài 102*. Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB...
Câu hỏi:
Bài 102*. Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Hạnh
Phương pháp giải:
Gọi N là giao điểm của AG và BC, BH vuông góc AN tại H và CK vuông góc AN tại K. Ta có: diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GAC
⇒ \( \frac{AG \times BH}{2} = \frac{AG \times CK}{2} \)
⇒ BH = CK
Xét tam giác BHN và CKN, ta có:
BH = CK
\( \widehat{BNH}=\widehat{CNK} \) (hai góc đối)
⇒ \( \Delta BHN = \Delta CKN \) (hai tam giác có cạnh và góc vuông chung)
⇒ BN = NC, tức là AN là đường trung tuyến của tam giác ABC
Tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC
Từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi N là giao điểm của AG và BC, BH vuông góc AN tại H và CK vuông góc AN tại K. Ta có: diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GAC
⇒ \( \frac{AG \times BH}{2} = \frac{AG \times CK}{2} \)
⇒ BH = CK
Xét tam giác BHN và CKN, ta có:
BH = CK
\( \widehat{BNH}=\widehat{CNK} \) (hai góc đối)
⇒ \( \Delta BHN = \Delta CKN \) (hai tam giác có cạnh và góc vuông chung)
⇒ BN = NC, tức là AN là đường trung tuyến của tam giác ABC
Tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC
Từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬPBài 99.Cho hai tam giác ABc có $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}...
- Bài 100.Cho tam giác có $\widehat{BAC}=110^{\circ}$. Các đường trung trực của AB và AC cắt...
- Bài 101.Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách đều các đỉnh của tam giác...
- Bài 103.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của goác A và...
- Bài 104.Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm...
- Bài 105.Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.a) Chứng minh...
- Bài 106.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC ($D\in...
Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GBC = diện tích tam giác GCA = 1/3 diện tích tam giác ABC. Khi đó, ta có các tỉ số AI/ID = BI/IC = CI/IA = 2. Áp dụng định lý ceva, ta được tỉ số trọng tâm G và I là 1. Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi M là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GBC = diện tích tam giác GCA = 1/3 diện tích tam giác ABC. Khi đó, ta có các tỉ số AM/MC = BM/MC = CM/MA = 2. Áp dụng định lý Ceva, ta được tỉ số trọng tâm G và M là 1. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: diện tích tam giác GAB = diện tích tam giác GAC = 1/3 diện tích tam giác ABC. Khi đó, ta có các tỉ số AG/OA = BG/OB = CG/OC = 2. Áp dụng định lý Menelaus, ta được tỉ số trọng tâm G và O là 1. Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.