4. Cho hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}(m-1)x-y=2 & & \\ mx+y=m...
Câu hỏi:
4. Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(m-1)x-y=2 & & \\ mx+y=m & & \end{matrix}\right.$
a, Giải hệ phương trình khi m = $\sqrt{2}$.
b, Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y >0.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Huy
Để giải câu hỏi trên:a, Thay m = $\sqrt{2}$ vào hệ phương trình ta có: $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2}-1)x-y=2 & \\ \sqrt{2}x+y=\sqrt{2} &\end{matrix}\right.$Từ đó suy ra: $\left\{\begin{matrix}x=\frac{5\sqrt{2}+6}{7} & \\ y=\frac{\sqrt{2}-10}{7} & \end{matrix}\right.$Vậy khi m = $\sqrt{2}$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = ($\frac{5\sqrt{2}+6}{7}; \frac{\sqrt{2}-10}{7}$)b, Cộng hai phương trình trong hệ ta được:(2m - 1)x = m + 2Với $2m\neq 1$ $\Rightarrow$ $m\neq \frac{1}{2}$, khi đó hệ có nghiệm duy nhất:$x=\frac{m+2}{2m-1}$, $y=\frac{m^{2}-3m}{2m-1}$ Điều kiện x + y > 0 ta có:$x+y=\frac{(m-1)^{2}+1}{2m-1}$Vì $(m-1)^{2}+1\geq 1 > 0$ với mọi x nên x + y > 0 khi và chỉ khi $2m - 1 > 0$ $\Rightarrow$ $m > \frac{1}{2}$ và $m\neq \frac{1}{2}$ Vậy giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0 là $m > \frac{1}{2}$.
Câu hỏi liên quan:
c, Để giải hệ phương trình trên, ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến hay khử tham số để giải hệ mà không cần phải tính toán trực tiếp các giá trị của x và y. Bằng cách này, ta sẽ có thể tìm ra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0 mà không cần phải tính toán chi tiết từng bước.
b, Để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0, ta thực hiện các bước sau: - Dựa vào hệ phương trình ban đầu, ta có (m - 1)x - y = 2 và mx + y = m. - Ta cộng 2 phương trình lại với nhau, ta được mx = m + 2. - Chia 2 vế cho m, ta có x = 1 + 2/m. - Thay x vào phương trình 1, ta được y = -m + 4. - Cuối cùng, x + y > 0 --> 1 + 2/m - m + 4 > 0. Giải phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
a, Khi m = sqrt(2), ta substitue m vào hệ phương trình ta được: { (sqrt(2) - 1)x - y = 2, sqrt(2)x + y = sqrt(2) } Tiếp theo giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng trừ và ta có nghiệm (x, y) là (4, 2).