2. Cho tam giác ABC,$\widehat{A}=\alpha ,\alpha <90^{0}$, AB = c, AC = ba, Chứng minh rằng...
Câu hỏi:
2. Cho tam giác ABC, $\widehat{A}=\alpha ,\alpha <90^{0}$, AB = c, AC = b
a, Chứng minh rằng SABC = $\frac{1}{2}$bc.sin$\alpha $
b, Trên tia AB lấy D, trên tia AC lấy E sao cho AD = m, AE = n
Chứng minh rằng $\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{bc}{mn}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Long
Phương pháp giải:Bước 1: Kẻ BH vuông góc với AC tại H.Bước 2: Ta có sin$\alpha$ = $\frac{BH}{BA}$ = $\frac{BH}{c}$ => BH = c.sin$\alpha$.Bước 3: Diện tích tam giác ABC là SABC = $\frac{1}{2}$BH.AC = $\frac{1}{2}$bc.sin$\alpha$ (đpcm).Bước 4: Trên tia AB lấy D, trên tia AC lấy E sao cho AD = m, AE = n.Bước 5: Diện tích tam giác ADE là SADE = $\frac{1}{2}$.AE.AD.sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$mn.sin$\alpha$.Bước 6: Áp dụng kết quả từ phần b, ta có: $\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}$ = $\frac{\frac{1}{2}bc.sin\alpha}{\frac{1}{2}mn.sin\alpha}$ = $\frac{bc}{mn}$.Vậy, $\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}$ = $\frac{bc}{mn}$. Đáp án: $\frac{bc}{mn}$.
Câu hỏi liên quan:
Kết hợp với công thức tính diện tích tam giác S = 1/2 * a * b * sinC, ta suy ra SABC / SADE = (1/2 * bc.sinα) / (1/2 * mn) = bc / mn
Từ đó ta có sin(AIB) = AB * sin(BAI) / AI = c.sinα / m và sin(AIC) = AC * sin(CAI) / AI = ba.sin(90° - α) / n = ba.cosα / n
Gọi I là giao điểm của AD và CE. Áp dụng định lí Sine cho tam giác AIB và AIC, ta có AI / sin(AIB) = AB / sin(BAI) và AI / sin(AIC) = AC / sin(CAI)
Từ tam giác ADE, ta có diện tích tam giác ADE là SADE = 1/2 * AD * AE = 1/2 * mn. Vậy ta có SABC / SADE = (1/2 * bc.sinα) / (1/2 * mn) = bc / mn
Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta có AH = ba.sinα và BH = c.sinα. Khi đó diện tích tam giác ABC là SABC = 1/2 * AB * AH = 1/2 * bc.sinα