2. Cho biểu thức:R = $\left ( 1+\frac{\sqrt{x}}{x+1} \right ):\left (...

Phương pháp giải:
a, Ta bắt đầu rút gọn biểu thức R bằng cách chia tử và mẫu cho $x+1$:
$R = \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)-(x+1)}\right)$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)}\right)$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{x+1-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)}$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(x+1)}$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x+1}$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1} \cdot \frac{x+1}{\sqrt{x}-1}$
$= \frac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

b, Giải phương trình $R = 7$:
$\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = 7$
$x+\sqrt{x}+1 = 7(\sqrt{x}-1)$
$x-6\sqrt{x}+8 = 0$
$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-4) = 0$
$\sqrt{x} = 2$ hoặc $\sqrt{x} = 4$
$x = 4$ hoặc $x = 16$
Vậy $x = 4$ hoặc $x = 16$ thỏa mãn điều kiện $x\geq 0, x\neq 1$

c, Tính giá trị của R tại $x = 2(2+\sqrt{3})$:
Thay $x = 2(2+\sqrt{3})$ vào biểu thức ta có:
$R = \frac{4+2\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1-1}$
$= \frac{6+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{9+6\sqrt{3}}{3}$
$= 3+2\sqrt{3}$

d, Giải phương trình $R < 1$:
$\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} < 1$
$\frac{x+2}{\sqrt{x}-1} < 0$
$\sqrt{x}-1 < 0$
$\sqrt{x} < 1$
$x < 1$
Vậy với $0\leq x < 1$ thì $R < 1$

Câu trả lời:
a, $R = \frac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$
b, $x = 4$ hoặc $x = 16$
c, $R = 3+2\sqrt{3}$
d, $0\leq x < 1$ thì $R < 1$