2.21.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênn, ta có10^(2n + 1)+ 1 chia hết cho 11.

Ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên \(n\), ta có \(10^{2n + 1} + 1\) chia hết cho 11 bằng phương pháp quy nạp như sau:
- Bước 1: Với \(n = 0\), ta có \(10^{2 \cdot 0 + 1} + 1 = 11\). Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp \(n = 0\).
- Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với \(n = k\), tức là ta có \(10^{2k + 1} + 1\) chia hết cho 11. Ta cần chứng minh khẳng định cũng đúng với \(n = k + 1\).
Ta có:
\(10^{2(k + 1) + 1} + 1 = 10^{2k + 2} + 1 = 100 \cdot 10^{2k + 1} + 1 = 100(10^{2k + 1} + 1) - 99.\)
Vì \(10^{2k + 1} + 1\) và 99 đều chia hết cho 11 nên \(100(10^{2k + 1} + 1) - 99\) cũng chia hết cho 11. Do đó, \(10^{2(k + 1) + 1} + 1\) chia hết cho 11.
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên \(n\).