2.19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>= 1, ta có:2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (n +...

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \geq 1 \), ta có:
\[ 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \ldots + (n+1) \cdot 2^n = n \cdot 2^{n+1} \]

Ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp (hoặc quy nạp số nếu cần).

**Bước cơ sở:** Đối với \( n = 1 \):
\[ 2 \cdot 2^1 = 4 = 1 \cdot 2^{1+1} \]

Điều này chứng minh cho trường hợp cơ sở \( n = 1 \) là đúng.

**Bước giả sử:** Giả sử công thức đề bài đúng với \( n = k \):
\[ 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \ldots + (k+1) \cdot 2^k = k \cdot 2^{k+1} \]

**Bước chứng minh:** Ta cần chứng minh rằng công thức cũng đúng với \( n = k+1 \):
\[ 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \ldots + (k+1) \cdot 2^k + (k+2) \cdot 2^{k+1} = (k+1) \cdot 2^{k+2} \]

Như vậy, ta có:
\[ k \cdot 2^{k+1} + (k+2) \cdot 2^{k+1} = (2k+2) \cdot 2^{k+1} = (k+1) \cdot 2^{k+2} \]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng công thức đúng cho mọi số tự nhiên \( n \geq 1 \).