II. Áp dụngLuyện tập 2.Chứng minh với mọi n ∈ℕ*, $(1+\sqrt{2})^{n}...

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng $(1+\sqrt{2})^{n}$ và $(1-\sqrt{2})^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n}+b_{n}\sqrt{2}$ và $a_{n}-b_{n}\sqrt{2}$ với $a_{n}, b_{n}$ là các số nguyên dương, ta sử dụng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta chứng minh điều kiện ban đầu cho n = 1:
$(1+\sqrt{2})^{1}=1+\sqrt{2}=1+1\times\sqrt{2}\Rightarrow a_{1}=1, b_{1}=1$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là $(1+\sqrt{2})^{k}=a_{k}+b_{k}\sqrt{2}$ với $a_{k}, b_{k}$ là các số nguyên dương. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Khi đó:
$(1+\sqrt{2})^{k+1}=(1+\sqrt{2})^{k}(1+\sqrt{2})=(a_{k}+b_{k}\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$

$=a_{k} + b_{k}\sqrt{2} + a_{k}\sqrt{2} + 2b_{k} = (a_{k}+2b_{k}) + (a_{k}+b_{k})\sqrt{2}$

Vì $a_{k}, b_{k}$ là các số nguyên dương nên $a_{k}+2b_{k}$ và $a_{k}+b_{k}$ cũng là các số nguyên dương.

Từ đây, ta chứng minh được rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n thuộc tập số nguyên dương.

Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng $(1-\sqrt{2})^{n}$ có thể viết được dưới dạng $c_{n}-d_{n}\sqrt{2}$ với $c_{n}, d_{n}$ là các số nguyên dương.

Cuối cùng, để chứng minh rằng $a_{n} = c_{n}$ và $b_{n} = d_{n}$ với mọi n thuộc tập số nguyên dương, ta xem xét các bước chứng minh tương tự và suy ra điều cần chứng minh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.