Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện như sau:

a) Ta tính giá trị của $S_n$ và $T_n$ với $n = 1, 2, 3$:
- Khi $n = 1$: $S_1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ và $T_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Vậy $S_1 = T_1$.
- Khi $n = 2$: $S_2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} = \frac{7}{4}$ và $T_2 = 2 - \frac{1}{2^2} = \frac{7}{4}$. Ta thấy $S_2 = T_2$.
- Khi $n = 3$: $S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} = \frac{15}{8}$ và $T_3 = 2 - \frac{1}{2^3} = \frac{15}{8}$. Ta cũng thấy $S_3 = T_3$.

Vậy ta có $S_1 = T_1$, $S_2 = T_2$, $S_3 = T_3$.

b) Để chứng minh công thức $S_n = T_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ bằng phương pháp quy nạp, ta sử dụng giả thiết quy nạp như sau:
- Ta chứng minh rằng mệnh đề đúng với $n = 1$: $S_1 = T_1$.
- Giả sử mệnh đề đúng với $k$, tức là $S_k = T_k$.
- Chứng minh rằng mệnh đề đúng với $k + 1$: $S_{k+1} = T_{k+1}$.

Thực hiện giải tích riêng từng bước, ta sẽ chứng minh được công thức $S_n = T_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ với mọi số nguyên dương $n$.

Vậy kết quả cuối cùng là $S_n = T_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ với mọi số nguyên dương $n$.