Bài tập 8.Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu...

Phương pháp giải:

a) Tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai có đỉnh là trung điểm của các cạnh của tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất.

b) Giữ nguyên tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai, chúng ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.

c) Giữ nguyên các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba, với mỗi tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba, ta lại chọn các tam giác đều màu trắng như cách ở Hình thứ nhất.

Ta có thể tiếp tục áp dụng quy luật trên để chọn các tam giác đều màu trắng trong các hình sau đó.

d) Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là 1.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ hai là 3.
Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ ba là 9.

e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là $3^{n-1}$.

Chứng minh:
- Khi n = 1, số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ nhất là 1, vì vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k là $3^{k-1}$.

Với cách chọn như trên, mỗi tam giác đều màu xanh sẽ tạo ra 3 tam giác đều màu xanh mới ở hình tiếp theo. Do đó, số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k sẽ cho ta $3^{k-1}$ tam giác đều màu xanh ở Hình thứ k+1.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Như vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là "Số tam giác đều màu xanh ở Hình thứ n là $3^{n-1}$ với n ∈ ℕ*".