Bài tập 7.Chứng minh $a^{n}– b^{n}= (a – b)(a^{n– 1}+ a^{n– 2}b...

Để chứng minh mệnh đề $a^{n} – b^{n} = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n – 2} + b^{n – 1})$ với n ∈ ℕ*, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước cơ bản: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.
Khi n = 1, ta có: $a^{1} – b^{1} = a – b$.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với số nguyên dương k bất kỳ, ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1.
Giả sử mệnh đề đúng với k: $a^{k} – b^{k} = (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k – 2} + b^{k – 1})$.
Khi đó, ta có:
$a^{k + 1} – b^{k + 1} = a \times a^{k} – b \times b^{k}$
$= a \times a^{k} – a \times b^{k} + a \times b^{k} – b \times b^{k}$
$= a \times (a^{k} – b^{k}) + b^{k} \times (a – b)$
$= a \times (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k – 2} + b^{k – 1}) + b^{k} \times (a – b)$
$= (a – b) \times a \times (a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k – 2} + b^{k – 1}) + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)(a \times a^{k – 1} + a \times a^{k – 2}b + ... + a \times ab^{k – 2} + a \times b^{k – 1}) + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)(a^{1 + (k – 1)} + a^{1 + (k – 2)}b + ... + a^{2}b^{k – 2} + a \times b^{k – 1} + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)(a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + a^{2}b^{(k + 1) – 3} + ab^{(k + 1) – 2}) + (a – b) \times b^{(k + 1) – 1}$
$= (a – b)(a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) – 2} + b^{(k + 1) – 1})$.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ*.