Bài tập 3.21 trang 39 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Hai đường trung tuyến BM, CN của...

Để chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có các cạnh đối vuông góc và các cạnh kề bằng nhau.

Cách giải 1:
- Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A, nên M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.
- Do M là trung điểm của AC và của GH nên AGCH là hình bình hành, suy ra HC = AG và HC // AG. (1)
- Do N là trung điểm của AB và của GK nên AGBK là hình bình hành, suy ra KB = AG và KB // AG. (2)
- Từ (1) và (2) suy ra BK = CH và BK // CH.
- Vậy tứ giác BCHK có hai cạnh đối BK, CH bằng nhau và song song nên là một hình bình hành.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AG là đường cao, tức là AG vuông góc với BC, suy ra KB vuông góc với BC, từ đó BCHK là hình chữ nhật.

Cách giải 2:
- Ta có AG = 2GM, AG // CH, GM // HC. Tương tự, ta có AG = 2GN, AG // BK, GN // KB.
- Do đó, AG = 2GM = 2GN, tức là GN = GM.
- Đồng thời, GN // HK, GM // KH nên GN = KH = GM.
- Vậy BCHK là hình chữ nhật với các cạnh kề bằng nhau và đối vuông góc.

Vậy, từ cả hai cách giải trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác BCHK là hình chữ nhật.