Bài 4. Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: GA + GB + GC =...

{
"Câu trả lời 1": "Ta có GA = $\frac{1}{2}$AM, GB = $\frac{1}{2}$BN, GC = $\frac{1}{2}$CP (do tam giác ABC có ba trung tuyến), từ đó ta có: GA + GB + GC = $\frac{1}{2}$AM + $\frac{1}{2}$BN + $\frac{1}{2}$CP = $\frac{1}{2}$(AM + BN + CP). Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM + BN + CP = 3G = 3GA. Vậy GA + GB + GC = $\frac{1}{2}$(AM + BN + CP) = $\frac{1}{2}$ * 3GA = $\frac{3}{2}$GA. Từ đó suy ra GA + GB + GC = $\frac{3}{2}$GA = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).",

"Câu trả lời 2": "Gọi \( \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{c} \) (với \( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \) là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng AG, BG, CG tương ứng). Do ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên ta có: \( \overrightarrow{a} = \frac{1}{2} \overrightarrow{M}, \overrightarrow{b} = \frac{1}{2} \overrightarrow{N}, \overrightarrow{c} = \frac{1}{2} \overrightarrow{P} \) (với \( \overrightarrow{M}, \overrightarrow{N}, \overrightarrow{P} \) là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng AM, BN, CP). Từ đó ta có: \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{1}{2} \overrightarrow{M} + \frac{1}{2} \overrightarrow{N} + \frac{1}{2} \overrightarrow{P} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{P}) \). nhưng \( \overrightarrow{M} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{P} \) chính là vector tổng của ba đường thẳng AM, BN, CP, gọi nó là \( \overrightarrow{T} \). Vậy ta có: \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{1}{2} \overrightarrow{T} \), từ đó suy ra: \( \|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \| = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{T} \| \). Nhưng ta cũng biết rằng \( \|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \| = GA + GB + GC \), và \( \|\overrightarrow{T} \| = AM + BN + CP \). Vậy ta đã chứng minh \( GA + GB + GC = \frac{1}{2} (AM + BN + CP) = \frac{2}{3} (AM + BN + CP) \)",

"Câu trả lời 3": "Ta có thể áp dụng định lí trung điểm trong tam giác để chứng minh bài toán này. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC trong tam giác ABC. Khi đó, ta có: GA = $\frac{2}{3}$ AI, GB = $\frac{2}{3}$ BJ, GC = $\frac{2}{3}$ CK. Từ đó suy ra GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AI + BJ + CK). Nhưng ta cũng biết rằng AI + BJ + CK = AM + BN + CP, vì ba trung tuyến đồng quy nên ta có kết quả cuối cùng là GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).",

"Câu trả lời 4": "Do ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên ta có AM = 2AG, BN = 2BG, CP = 2CG. Từ đó suy ra AM + BN + CP = 2AG + 2BG + 2CG = 2(GA + GB + GC). Vậy AM + BN + CP = 2(GA + GB + GC). Do đó, ta có GA + GB + GC = $\frac{1}{2}$(AM + BN + CP) = $\frac{1}{2}$ * 2(GA + GB + GC) = $\frac{2}{3}$(GA + GB + GC)."
}