9.22.a) Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh ACtại một điểm...
Câu hỏi:
9.22.
a) Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.
b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?
c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điển D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tuỳ ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Hạnh
a) Phương pháp giải:
- Gọi M là điểm cắt của đường trung trực d với cạnh AC.
- Ta có MB = MC vì M nằm trên đường trung trực của BC.
- Do đó, ta có AC = AM + MC = AM + MB
- Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ABM, ta có AM + MB > AB
- Từ đó, suy ra AC > AB
b) Phương pháp giải:
- Nếu AC > AB, đường trung trực d của BC không thể đi qua A vì nếu vậy thì AC = AB, điều này mâu thuẫn với điều đã cho.
- Do đó, d phải cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C.
c) Phương pháp giải:
- Vì MB = MC nên MA + MB = MA + MC
- Với M khác D, ta có MA + MC > AD + DC (theo bất đẳng thức tam giác).
- Từ đó, suy ra MA + MB > AD + DB
Vậy ta đã chứng minh câu hỏi trên.
- Gọi M là điểm cắt của đường trung trực d với cạnh AC.
- Ta có MB = MC vì M nằm trên đường trung trực của BC.
- Do đó, ta có AC = AM + MC = AM + MB
- Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ABM, ta có AM + MB > AB
- Từ đó, suy ra AC > AB
b) Phương pháp giải:
- Nếu AC > AB, đường trung trực d của BC không thể đi qua A vì nếu vậy thì AC = AB, điều này mâu thuẫn với điều đã cho.
- Do đó, d phải cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C.
c) Phương pháp giải:
- Vì MB = MC nên MA + MB = MA + MC
- Với M khác D, ta có MA + MC > AD + DC (theo bất đẳng thức tam giác).
- Từ đó, suy ra MA + MB > AD + DB
Vậy ta đã chứng minh câu hỏi trên.
Câu hỏi liên quan:
d) Ta có MA + MB = (MD + DA) + (MD + DB) > AD + DB (do tính chất bất đẳng thức tam giác). Vậy, ta cũng chứng minh được MA + MB > DA + DB.
c) Ta có MA + MB = (MA + MD) + (MB + DC) > AD + CD = DA + DB (do tính chất bất đẳng thức tam giác). Vì vậy, ta chứng minh được MA + MB > DA + DB.
b) Đảo lại câu a), ta có AC > AB, nhưng không thể kết luận được rằng đường trung trực d của cạnh BC sẽ cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C.
a) Ta có AD < AC (do D nằm giữa A và C), suy ra AC = AD + CD > AD + BC > AD + AB (do AB < BC). Vì vậy, ta chứng minh được AC > AB.