9.21.Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh...
Câu hỏi:
9.21. Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh $\widehat{BAC}=45^{\circ}$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Huy
Để giải bài toán này, em có thể áp dụng phương pháp sau:Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.Ta có: $\widehat{AJH}=\widehat{BJH}=90^{\circ}$ (vì H là trực tâm của tam giác ABC và BJ là đường cao)$\widehat{JAH}+\widehat{JCB}=90^{\circ}$ (trong tam giác AHJ)$\widehat{JBC}+\widehat{JCB}=90^{\circ}$ (trong tam giác BCJ)Từ đó, ta suy ra: $\widehat{JAH}=\widehat{JBC}$.Khi đó, ta có $\Delta AHJ=\Delta BCJ$ (do có cạnh huyền - góc nhọn), từ đó suy ra AJ = BJ (cạnh tương ứng).Vì tam giác JAB vuông tại J nên JAB là tam giác vuông cân.Do đó, $\widehat{BAC}=45^{\circ}$.Vậy, câu trả lời cho bài toán là: $\widehat{BAC}=45^{\circ}$.
Câu hỏi liên quan:
{ "content1": "Ta có AH = BC và H là trực tâm của tam giác ABC, do đó ta có AH = 2.HA (do trực tâm chia đôi đường cao), từ đó suy ra 2.HA = BC. Khi đó, ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên nếu $\widehat{BAC}=x$, ta có $\widehat{BCA}=\frac{180^{\circ}-x}{2}=90^{\circ}-\frac{x}{2}$. Vì BC = 2.HA = 2.AC.cos\frac{x}{2} (theo định lý Cosin trong tam giác vuông), nên ta có $2.AC.cos\frac{x}{2}=AC$. Từ đó suy ra cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2} mà cos\frac{45^{\circ}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} - 1, do đó x = 45^{\circ}.", "content2": "Gọi O là trung điểm của BC, ta có AH là phân giác tại A của tam giác ABC (do H là trực tâm nên AH đi qua trung điểm của BC). Do đó ta có $\frac{HC}{AC}=\frac{HB}{AB}$. Thay HC = $\frac{1}{2}AC$, HB = $\frac{1}{2}AB$ vào công thức trên ta được $\frac{1}{2}AC}{AC}=\frac{1}{2}AB}{AB}$, xác định với gốc A nên ta có $\widehat{BAC}=45^{\circ}$.", "content3": "Gọi E là trung điểm của AB, ta có AH = 2.HA = BC = 2.EC. Do đó tam giác AHC và EBC đồng dạng. Nên ta có $\widehat{BAC}=\widehat{AEH}=45^{\circ}$."}