4. Rút gọn các biểu thức sau:a, M = $\sqrt{125}-3\sqrt{45}+2\sqrt{20}$b, N =...

Để rút gọn các biểu thức trên, ta chỉ cần quan tâm đến cách biểu diễn các căn bậc 2 của các số đã cho. Khi đó, ta sẽ đưa các biểu thức về dạng phân số cơ bản hoặc dạng căn bậc 2 sau đó tính toán.

a, $M = \sqrt{125}-3\sqrt{45}+2\sqrt{20}$
= $\sqrt{5^2 \cdot 5}-3\sqrt{3^2 \cdot 5}+2\sqrt{2^2 \cdot 5}$
= $5\sqrt{5}-3 \cdot 3\sqrt{5}+2 \cdot 2\sqrt{5}$
= $5\sqrt{5}-9\sqrt{5}+4\sqrt{5}$
= $0$

b, $N = 3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}-\sqrt{12,5}$
= $3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{25}{2}}$
= $3\sqrt{\frac{2}{4}}+\sqrt{\frac{18}{4}}-\sqrt{\frac{50}{4}}$
= $\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}$
= $\frac{1+1-5}{2}\sqrt{2}$
= $\frac{-3}{2}\sqrt{2}$

c, $P = \sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{50}-\sqrt{578}+\sqrt{128}-\sqrt{242}+\sqrt{72}$
= $\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{4 \cdot 2}+\sqrt{25 \cdot 2}-\sqrt{289 \cdot 2}+\sqrt{64 \cdot 2}-\sqrt{121 \cdot 2}+\sqrt{36 \cdot 2}$
= $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{2}-17\sqrt{2}+8\sqrt{2}-11\sqrt{2}+6\sqrt{2}$
= $(3-2+5-17+8-11+6)\sqrt{2}$
= $-8\sqrt{2}$

d, $Q = \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{4}{3}\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$
= $\sqrt{\frac{6-\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{49+12\sqrt{5}}{9}}-\sqrt{\frac{6+\sqrt{5}}{2}}$
= $\sqrt{\frac{(2-\sqrt{5})^2}{2 \cdot 2}}+\sqrt{\frac{(3\sqrt{5}+2)^2}{3^2}}-\sqrt{\frac{(2+\sqrt{5})^2}{2 \cdot 2}}$
= $\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{4}}+\frac{3\sqrt{5}+2}{3}-\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$
= $\frac{2-\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{5}+2}{3}-\frac{2+\sqrt{5}}{2}$
= $\frac{3\sqrt{5}+2}{3}$

e, $E = \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})+3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$
= $\frac{3\sqrt{5}+3\sqrt{2}+3\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{5-2}$
= $\frac{6\sqrt{5}}{3}$
= $2\sqrt{5}$

f, $F = \left ( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}} \right ):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $\left ( \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{3})}{1-3}-\frac{\sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \right ):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $\left ( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{-2}-\sqrt{5} \right ):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $\left ( \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{-2}-\sqrt{5} \right ):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $\left (-\sqrt{2}-\sqrt{5} \right ):\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
= $-(\sqrt{2}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})$
= $-(2+5)$
= $-3$

Vậy, các câu trả lời cho các phần của câu hỏi là:
a) $M = 0$
b) $N = \frac{-3}{2}\sqrt{2}$
c) $P = -8\sqrt{2}$
d) $Q = \frac{3\sqrt{5}+2}{3}$
e) $E = 2\sqrt{5}$
f) $F = -3$